東京工科大学　工学部　応用化学科　ブログ

　「濡れた手で触らないでください。」

　時々電気製品で見かける注意書きですが、これはもちろん感電防止のための注意です。そういえば、人が入っている風呂にコンセントにつないだままの電気製品（ヘアドライヤーとか？）を放り込んで殺害、なんてシーンを海外ドラマで見ることがありますから、水は電気を通す、というのが一般的な認識なのでしょう。

　その一方で、理科の授業で行う水の電気分解の実験では、水に水酸化ナトリウム NaOH を溶かして電気分解を行うのことが広く行われていますが、その理由は「水に電流が流れやすくするため」と説明されています。

　はて、水は電気を通すのか、通さないのか？

　答えはいつも通り、条件次第、程度次第、ということになりますが、それ以前に私たちが通常「水」と呼んでいるものと、理科の実験で使う「水」とは必ずしも同じものではない、ということに注意しましょう。

　以前、「人類の歴史を顧みると人間生活の向上は常にエネルギー消費の増加を伴っている」という主張について記事を書きました。それに関連して日本の最近のエネルギー消費とGDPの関係を議論したのですが、ここ5年ほど、GDPが上昇する（「人間生活（の質）」が向上する）一方で、消費エネルギーが減る、という現象が見られる、と指摘しました。今回はいろいろな国を比較して人間生活と消費エネルギーの関係を考えてみたいと思います。

　まず、「人間生活（の質）」について。GDPそのものは、この指標にはならないでしょう。おなじGDPでも人口の多い国と小さな国ではまともな比較になりません。ここは人口1人あたりのGDPを比較するべきですね。

　日本の話に限ればここ10年ほどの期間、人口はあまり変化していません。2010年にピークを迎え、その前後5年で1％以下の変化しかありませんから、ほぼ人口は一定だとみて良いでしょう。（ですから、2010年以降、GDPが増加しつつエネルギ－消費が減っている、という状況は人口減少が、少なくとも主要な原因ではない、とい言えると思います。）

　日本と他の国を比べる場合にはやはり人口1人あたりのGDPが比較の基準としてふさわしいと考えられます。同じく、1人あたりの一次エネルギーの消費とを比較したのが以下のグラフ。これも「エネルギー白書(2017)」から引用しました。

　先日の記事で、「人類の歴史を顧みると人間生活の向上は常にエネルギー消費の増加を伴っている」のだから、「化石燃料の使用を制限することは生活レベルの低下を意味する」という意見について、学生諸君の反応について紹介しました。要するに「化石燃料を使い続けることはできない」し「再生可能エネルギーがある」というリアクションでした。

　今回は、別途「人間生活の向上は常にエネルギー消費の増加を伴っている」という部分について、その真偽を日本のデータから考えてみたいと思います。

　まず、明治維新以前と以後、そして戦前までの期間について考えれば「人間生活の向上は常にエネルギー消費の増加を伴っている」のは明かでしょう。産業革命（日本では明治維新がこれにあたります）以降、エネルギーの利用の仕方が根本的に変化し、これが人々の生活を良くしたことに疑いはありません。もちろん、細かくみればこの流れに反して、エネルギー消費が増えたが生活レベルが下がった場所や時期があるかも知れません。しかし、それはぞれ、全体の傾向とは言えないと思います。

　そして戦中と戦後初期の混乱期。この期間中にエネルギー消費は下がった時期もあるでしょう。人々の生活は、おそらく場所によって大して変化しないところもあったでしょうが、一部では街全体が消失し、多くの人が命を落とすことにもなり、おおむね、人々の生活は良くはなっていないと思われます。いずれにしても特殊すぎる期間であり、歴史の趨勢とは言えない時代です。

　というわけで、以下のデータを「エネルギー白書（２０１７）」から引用してきました。オイルショック直前の1973年から2015年までのエネルギー消費、そして「人々の生活の質」を代表するものとしてGDPの変化が対比されています。

　物理量は数値と単位を掛け合わせたものとして表現されます。単位にはいろいろなものがありますが、長さの単位、質量の単位、時間の単位など、互いに換算が可能な単位がついた物理量をまとめて同じ次元をもつ、とよびます。（この辺の事情はこちらで説明しています。）

　原理や法則から理論的に導き出された式、すなわち理論式は両辺の次元が一致していること、実験結果をまとめた実験式も同様に次元が一致するように表現すると便利であることなども説明しましたが、今回は理論式について、の両辺の次元が一致している、という条件からどのようなことが言えるのか、を考えてみます。

　まず、重力によってものが落ちる、いわゆる自由落下をする場合、落ちる距離 x と落ち始めてからの経過時間 t との関係について考えてみましょう。普通に運動方程式を立てても良いのですが、今回は少し代わった解き方を紹介します。

　まず、自由落下の現象に関わる物理量は何でしょうか？ 重力加速度 ｇ 落下する物質の質量 m 、これで全部ですね。(空気抵抗は無視しています。）

　x の次元は長さの次元 L 、t の次元は時間の次元 T、m の次元は質量の次元 M となります。g の単位は組立単位なので、その次元も長さと時間の次元で表現されて、 LT ^-2 となります。

　さて、運動方程式の解がどのようなかたちになるにせよ、 x は ｔ 、 m 、 g の関数で表されるはずですから、これを

　 x = A t ^α m^β g^γ

で表してみましょう。（ここで A は無次元の定数とします。）

　両辺の次元が等しいとすると、以下の図の様な計算で実は

　x = A t ²g

という関係が成立することが示されます。（図の dim() という関数は物理量の次元を表すものです。）

　前回、工学で利用される数式には「理論式」と「実験式」がある、ということを解説しました。また、物理量の「次元」についても紹介しています。今回は、「実験式」と「次元」の関係について考えてみましょう。

　まずは実験式から。実験式は「実験データを整理して式のかたちにまとめたもの」ですから、話は実験から始まります。下図の青いマークがデータ点だとします。横軸をX、縦軸をYとすると、Xが増えるとYも増える、なるほどYはXに比例するのかな、と思って詳しく見てみるとYはXが増えるほどには増えない、少し頭打ちになっていることが判ります。

　なるほど、このデータを再現するような式を作るとしたら

Y =a X^b

のかたちが良さそうです。（ここで、a、b は定数となります。）

　さて、ここで次元の話を思い出してみましょう。

　物理量には次元があり、次元が違う物理量は足したり引いたりできない、そう説明したと思います。よって、物理量の関係式は、左辺と右辺の次元が同じでなければならない。

　では、Y =a X^b の左辺と右辺の次元は一致するのでしょうか？

　化学や物理では、いろいろな問題の中に、「適切な数式に数値を代入して答えをもとめる」というタイプの問題が出てきます。いろいろな変数のあいだの関係が数式で与えられていて、問題で指定された個別の状況に対して数式を適用することで求める答えが得られる。当たり前のことではありますが、このような数式の利用法は科学や工学の学習の大きな部分を占めています。というか、工学が社会で実用される際に、この数式の利用法が重要な役割を担っているからこそ、教育に際して重要視されることになるのです。

　さて、今回はこのような「数式」が一体どのようにして得られるのか、という点を考えてみましょう。

　今回のタイトルに示したように、工学で使われる式は、理論式と実験式に大別されます。

　まず、理論式から。これは原理や法則から導出される式のことです。問題の理解の仕方や導出が間違っていなければ、正しい結果を与える式で、実験で確認する必要がないと見なされます。もちろん、原理や法則は実験と無関係にできあがったものではありません。原理や法則は十分実験で確認されているので、そこから導かれる理論式を再度実験で確認する必要は無い、ということです。

　では、原理や法則から直接導出できない、つまり理論式は無いが、どうしても知りたい変数間の関係がある場合、どうすれば良いのでしょうか。こんな時は実際に実験を行って、その結果を式にまとめる、ということが頻繁に行われています。これが実験式です。

　前回の記事で物理量の単位について考えてみました。そして「違う単位の物理量は足したり引いたり出来ない。」と述べたのですが、今回はその意味についてもう少し考えてみたいと思います。

「私の身長は1メートル76センチです」

　これは普通に使われる表現ですが、「物理量は数値と単位の積」というルールからは外れています。物理量として表現したいなら

「私の身長は 1.76 m です」

あるいは

「私の身長は 176 cm です」

とするべきですね。

　つまり「1メートル76センチ」とは「1m + 76cm」のことで、76cmを0.76mに読み替えれば1.76mに、1mを100cmに読み替えれば176cmになるわけです。

　あれ？メートルとセンチメートルは違う単位なのに足したりしてませんか。

　メートルとセンチメートルは厳密に言えば違う単位なのですが、長さの単位という意味では同じです。同じだから足し算ができますが、違うから100倍（あるいは100分の1）する、つまり換算する必要がある。うーん、「同じ」とか「違う」とか言葉の意味がごちゃごちゃしてきました。

　このような混乱を避けるために使われるのが「次元」です。物理量にはそれぞれの次元がある。例えば身長という物理量は長さの次元をもっている、という言い方をします。長さの次元を記号Lで表現します。1mの次元はL、76cmの次元もL。この2つの物理量は同じ次元なので換算して足し算することができる、という訳です。

　同じ単位の物理量の足し算はそのまま数値の部分を足して単位を付ければ良い。次元が同じ物理量の足し算は換算して単位を一致させてから数値の部分を足して一致させた単位をつける。次元という言葉を使うとこの様に表現することができます。

　こういう言い方もできます。長さLという次元をもつ物理量は長さという次元に対応したいろいろな単位をつかって表現することができます。物理量の数値の部分は使用する単位によって変わります。物理量を表す単位の部分を変更することを換算する、といいますが、その際、数字の部分も一定の倍率で変更されなくてはなりません。そして、単位にはそれぞれ対応する次元があって、違う次元の物理量を表す単位では換算ができないのです。

　同じ次元の物理量に対応する単位なら、SI以外の単位でも換算することができます。図は「化学工学便覧」からの引用ですが、インチなどヤードポンド法の単位系との換算も可能です。

　さて、長さ以外の次元について考えてみましょう。

　単位とは大学で授業を受け、期末試験に合格したものに与えられるもので、進級、研究室配属、卒業にはそれぞれ必要な単位数が…、というのはさておき、今回のお題の「単位」はメートルとかキログラムとか、いわゆる物理単位のことです。

　物理に限らず化学や生物など、科学の分野で用いられる物理量は数値と単位の積で表されています。古来、いろいろな単位が用いられて来たのですが、現在科学の世界では統一された単位系としてSI単位系（国際単位系）を用いることが推奨されています。

　SI単位系では基本単位として「メートル」「キログラム」「秒」「アンペア」「ケルビン」「モル」「カンデラ」の7つが指定されていて、その他の単位はこの基本単位を掛けたり割ったりして作った組立単位として表現されます。

　「ジュール」や「ニュートン」など一部の組立単位には固有の名称と記号が指定されています。

　また、1000倍を表すｋ（キロ）や1000分の1を表すm(ミリ)などのSI接頭語を使用することで大小様々な物理量を表現できるようになっています。

　さて、一通り説明した後でもう一度。単位とは何でしょうか？ここでの説明は単位の表現の仕方、であって単位そのものが何かを説明してはいない気がします。

　さあ、どうしましょう？

　地球に降り注ぐ太陽光のエネルギーは莫大で、その一部を利用するだけで人類が必要とする全てのエネルギーがまかなえる、という話はよく聞きます。では視点を変えて、太陽自体はどのくらいのエネルギーを放出しているのか、その中のどの程度のエネルギーが地球に届くのか、それが今回のお題です。

　さて、この数字の求め方ですが、まずは太陽定数からスタートしましょう。太陽定数はこちらの記事で説明したとおり、「地球の外、地球の軌道上でみた太陽からの光のエネルギーの密度」の事で、その値は1367 W/m² となるそうです。

　もう一つ必要な数字は太陽と地球の距離。これは149 597 870 700 m、約1.5×10¹¹ m、つまり千五百億メートルです。正に天文学的な距離。それもそのはずでこれは「1天文単位=1au」という距離の単位として定義されているくらいです。

　さて、この2つの数字から太陽が発するエネルギーを計算することができます。

　まずは太陽と地球の距離を半径とする大きくて中空の球が太陽を囲んでいると考えてみましょう。太陽がこの巨大な球の中心に位置していれば球の内部はどの面でも同じエネルギーを受けていると考えられます。そのエネルギー密度、実は太陽定数のことですよね。

　巨大中空球の面積は 4×3.14×（1.5×10¹¹）² ＝ 2.8×10²³ m² という計算になります。これに太陽定数をかけると

　2.8 ×10²³　× 1367 = 3.8×10²⁶

3.8×10²⁶ W となります。うーん、数字が大きすぎてどう表現して良いかわかりませんね。化学の人間ならアボガドロ数の約600倍とでも言えば良いのでしょうか。

　以前、一連のシリーズとして解説した化学プロセスで使われる自動制御についての解説、今回はその番外編です。

　先日のオープンキャンパスで自動制御と比較するために、手動制御のデモ実験を行いました。これは以前このシリーズで紹介したものです。最も簡単な制御の実例として電球を加熱装置に見立てて、その温度を制御するというものです。電球をつけると温度が上昇しますが、その温度を測定しながら一定の温度（今回は４０℃）に安定させることを目標にしています。

　電球のスイッチを入れると温度が徐々に上昇しはじめます。たいていの人は４０℃に達するとスイッチを切るのですが、そのときすでに遅く温度は４１℃、４２℃、と上がってゆきます。やがてゆっくりと温度が下がってくるのですが、今度はスイッチを入れるタイミングが難しい。早すぎると４１℃、４２℃、の繰り返し。戸惑っている内に３９℃になってしまう人もちらほらです。

　たいていの人はこの段階でギブアップ、大体５秒から１０秒の体験です。でも中には巧くタイミングを掴んで１０秒、２０秒と記録を伸ばし、ついには１分越えの強者も表れました。